碰撞模型 · 恢复系数 e

参数设置

小球 1（左）

质量 m₁

初速 u₁

小球 2（右）

质量 m₂

初速 u₂

恢复系数 e

e = 0　完全非弹性 0 < e < 1　一般碰撞 e = 1　完全弹性

碰撞过程接近

碰后

v_{1}^{'}

碰后

v_{2}^{'}

质心速度

v_{c}

动能损失

Δ E_{k}

速度 — 时间图象灰带 = 接触时段

v_{1}

v_{2}

v_{c}

（质心速度，全程不变）

碰撞可行性判据高考常考

碰撞显微镜

压缩阶段冲量

J_{压}

恢复阶段冲量

J_{恢}

J_{恢} \div J_{压}

接触过程。压缩阶段两球挤压变形、相对速度减为零（此刻共速、形变最大）；恢复阶段形变部分弹回，把一部分弹性势能还给动能。 e 就是这两块阴影面积之比——恢复冲量与压缩冲量的比值，也等于分离速度与接近速度的比值。

动量分配总长度碰前碰后相等

动能分解只有内动能可以损失

把总动能拆成两块：随质心平动的动能

½ M v_{c}^{2}

由动量守恒锁死、碰撞中一点都不会变；剩下的内动能

½ μ u_{rel}^{2}

才是碰撞能消耗的部分，碰后只剩

e^{2}

倍。

动能损失随 e 的变化

Δ E_{k} = ½ μ (1 - e^{2}) u_{rel}^{2}

原理与公式

一、两条基本方程

碰撞时间极短，内力远大于外力，所以系统动量守恒：

m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}

m1·u1 + m2·u2 = m1·v1' + m2·v2'

恢复系数 $e$ 定义为分离速度与接近速度之比：

e = \frac{v_{2}^{'} - v_{1}^{'}}{u_{1} - u_{2}} = \frac{分离速度}{接近速度} = \frac{J_{恢}}{J_{压}}

e = (v2' − v1') / (u1 − u2) = 分离速度/接近速度 = J恢/J压

二、通解（三种碰撞的统一写法）

v_{1}^{'} = v_{c} - \frac{m_{2}}{M} e u_{rel} v_{2}^{'} = v_{c} + \frac{m_{1}}{M} e u_{rel}

v1' = vc − (m2/M)·e·u_rel　　v2' = vc + (m1/M)·e·u_rel

其中

M = m_{1} + m_{2}, v_{c} = \frac{m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2}}{M}, u_{rel} = u_{1} - u_{2}

M = m1+m2,　vc = (m1u1+m2u2)/M,　u_rel = u1−u2

$e = 0$ 　完全非弹性碰撞： $v_{1}^{'} = v_{2}^{'} = v_{c}$ ，碰后共速，动能损失最大
$0 < e < 1$ 　一般碰撞（非弹性碰撞）：部分动能转化为内能
$e = 1$ 　完全弹性碰撞：动能守恒，相对速度大小不变、方向相反

三、动能损失

Δ E_{k} = \frac{1}{2} μ (1 - e^{2}) u_{rel}^{2}, μ = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}}

ΔEk = ½·μ·(1 − e²)·u_rel²,　μ = m1m2/(m1+m2)

$Δ E_{k}$ 与 $e$ 的关系是一条开口向下的抛物线： $e = 0$ 时损失最大（等于全部内动能 $½ μ u_{rel}^{2}$ ）， $e = 1$ 时损失为零。

四、判断"这次碰撞可不可能发生"

动量守恒——必要条件，恒成立
动能不增加： $E_{k}^{'} \leq E_{k}$ ，等价于 $e \leq 1$
碰后不穿透： $v_{1}^{'} \leq v_{2}^{'}$ （后面的球不能比前面的球快），等价于 $e \geq 0$

把 $e$ 拖到 0～1 之外，就能看到这两条判据是怎么被违反的。

五、两个常用极端结论（ $e = 1$ ，动碰静）

$m_{1} = m_{2}$ ：速度交换， $v_{1}^{'} = 0, v_{2}^{'} = u_{1}$
$m_{1} ≫ m_{2}$ ：大球几乎不减速，小球以约 $2 u_{1}$ 弹出
$m_{1} ≪ m_{2}$ ：小球几乎原速率反弹，大球几乎不动

一、两条基本方程

二、通解（三种碰撞的统一写法）

三、动能损失

四、判断"这次碰撞可不可能发生"

五、两个常用极端结论（e=1，动碰静）

五、两个常用极端结论（ $e = 1$ ，动碰静）